Nato all’estero da una famiglia siciliana, Alagna iniziò a cantare giovanissimo nei cabaret di Parigi, quindi, influenzato dai film di Mario Lanza e dall’ascolto di incisioni di celebri tenori, decise di passare definitivamente al canto colto. Come cantante è sostanzialmente un autodidatta, e ha appreso gran parte del repertorio da Rafael Ruiz, contrabbassista cubano e appassionato di opera.
Fece il suo debutto nel novembre 1988 nel ruolo di Alfredo Germont ne La traviata con la London Sinfonietta e la compagnia dell’opera del Glyndebourne Festival Opera al Theatre Royal di Plymouth, poi al Palace Theatre di Manchester ed al Theatre Royal di Norwich: seguirono numerosi ingaggi in vari teatri minori in Francia e in Italia, sempre prevalentemente per la parte di Alfredo, un ruolo che avrebbe cantato più di 150 volte.
La sua fama crebbe rapidamente e iniziò a essere chiamato dai palcoscenici maggiori, alla Scala di Milano (di nuovo come Alfredo nella prima rappresentazione di La traviata, sotto la direzione di Riccardo Muti) nel 1990 e nel ruolo di Rodolfo ne La bohème con Angela Gheorghiu come Mimì al Covent Garden di Londra nel 1992 ed al Metropolitan Opera nel 1996 con Karita Mattila come Musetta. Sempre nel 1990 è Alfredo Germont con Giorgio Zancanaro al Teatro La Fenice di Venezia e Rodolfo nella ripresa nella Salle Garnier del Théâtre du Casino di Montecarlo di “La bohème”.